【圖1】一條弦的振動
TG 在閱讀時報出版社「開卷叢書、古典系列」中《尚書》的「口袋書」時，注意到經文「予欲聞六律、五聲、八音，在治忽，以出納五言……」的解釋時，提到了「六律」這個名詞，是為先秦時代的樂音高度標準。嚴格說來，古代音高總共定有「十二律」，其中的奇數六律稱為「陽律」或「六律」；偶數六律稱為「陰律」或「六呂」。令 TG 感到興趣的，在於本書編者將《中文大辭典》的附表放進來，說明各律在相關書籍的製造，而且《史記．律書第三》當中有著明確的記載。
TG 用功程度不夠，以往對於《史記》，通常只看《本紀》、《世家》、《列傳》罷了，偶爾也翻翻《表》來查對事件的先後順序。至於《書》的內容，TG 只覺得晦澀難解，大多都讀不下去。後來 TG 為了「六律」這件事，特地去翻查相對應的內容，才發現太史公的確有一段詳細地列出了十二律的名稱、以及產生這十二音律的長度。這十二律的名稱，從低到高分別是︰「黃鍾、大呂、太簇、夾鍾、姑洗、仲呂、蕤賓、林鍾、夷則、南呂、無射、應鍾。」TG 在本文中，想要整理一下這其中的數值。
在這裡，我們要先暫時跳離古律的問題，聊聊簡單的「聲波物理學」。
大家在學校的課堂上都學過，聲音是藉由空氣分子的振動，產生一種空氣中「疏密波（縱波）」的傳播。聲波的物理分析量值有三種︰「音量（響度）」、「音高」與「音品（音色、音質）」。
「音量」的意義明顯易解，也就是我們所說聲音的「大小聲」的程度，通常以「分貝（dB）」作為測量的單位，這是屬於能量的綱量。
「音高」是聲音音調的高低，在物理上對應的是聲波的「振動頻率」，也就是我們音樂課堂演唱的「Do、Re、Mi」等等音高；通常人耳能聽到的聲波波段是介於二十到二萬赫玆（Herz）的頻率。
「音品」則與聲波的外形相關。比如發出同樣音高（同樣振動頻率）的鋼琴聲、豎笛聲、人聲，我們能夠明顯地辨別出這幾者之間的不同，靠的就是它們的波形差異。
以下我們特別就「音高」，也就是聲音「頻率」的部分來討論。
製造不同音高最容易、也最具啟發性的方法，就是藉由簡單的弦線振動所產生的樂音。如果我們取一條質地均勻的弦，兩端固定，用手指頭在中央一彈，就能夠聽到某一頻率的嗡嗡鳴聲。當然，如果想要製作成實用的樂器，就必須再加上共振箱，才能有足夠的音量用來演奏。如下圖所示，我們稱這種最簡單波形所發出的聲音為「基音」。照聲學的原理，如果該弦的材質、以及弦線兩端的張力固定，則這一條「弦長」（嚴格說來，下圖裡的弦長，是二分之一的基音波長）與其發出的「頻率」，是成反比的關係。
【圖1】一條弦的振動
也因此，如果我們在其它條件不變的狀況下，將弦截斷成原來的一半，則它所發出來的音高（頻率）會是原來的兩倍。增加弦長，則頻率降低。
再來看看前述的這一條弦。除了原來的「基音」之外，如果我們略施點小技巧，就能讓弦線產生出如下圖的幾種振動模式。如果中央點不動（中央不動的點稱為「節點」），弦的振動波長就變為原來的一半。我們稱這樣的振動模式為「第二泛音」，其所發出的音高是原來的兩倍。
【圖2】各種不同顏色的實線，代表同一弦上可能的各種不同振動模式
同樣地在上圖中，我們還可以在同一條弦上產生出各種不同的泛音模式，如分成三段（中間有兩個節點），就成了第三泛音。於是除了「基音」之外，還可以有第二泛音、第三泛音、第四泛音、……等等。而它們各自的振動頻率，就是原始基音的二倍、三倍、四倍、……。（在波諧的理論中，各種相同頻率而不同的「音品」，可以分解為不同強度的各種泛音。電腦 MIDI 就是靠著這項特性，用電子震盪來模擬出真實樂器的聲音。在此就不深論了。）
對於兩個成整數倍數的聲音頻率，我們人類耳朵都會聽出比較特別的「和諧感」。（為何說是「感覺」呢？因為這是屬於「心理學」的範疇，不全然是物理問題。正如人類眼睛所看到的「顏色」，是屬於「視覺心理學」而非「光譜頻率」……）。以現在的術語來說，主頻率相差兩倍的聲波，我們將它定義成「八度」音程。如果原始一條弦發出「中央 Do」，則長度減半（其它條件不變）的弦將發出「高音 Do」的音；如果弦線增成為兩倍，則它將發出「低音 Do」。如前所言，波長與頻率成反比。
當然，所有文明產出的曲調，不可能僅用到這幾個二倍頻的聲音來構成旋律。在「八度音程」之間，必定要插入介於其中的頻率。而在這兩個有明顯物理定義的八度音程之間，理論上可以有無限多種安插的方式。我們發現，中西文化都將兩個八度之間，分成了十二段。（聽說有人切分成六十律，但終究不是主流……）
比如今天一組鋼琴的鍵盤，在一個八度之間，有十二個鍵（七個白鍵、五個黑鍵）︰C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。再上去一個鍵為 C'，是原始 C音的倍頻，可以再接續下一組循環。如此反覆、向上向下皆可構成許多組十二個鍵的循環。
在這種兩個八度音程之間，切分成十二段的方法，在中國先秦時代稱作「十二律」。《史記．律書》裡頭記載了這十二個音的定音方式，是使用了所謂的「三分損益法」。「三分損益法」在古希臘的畢氏學派中，稱為「五度相生律」。其在物理上的分析，則是利用到了原始基音的「第三泛音」。
三分損益法，可以簡單地想成是一條弦等分成三分。如果去掉原來的三分之一（三分損）長度，弦長便成了原始的三分之二，頻率則是原來的二分之三（音高提昇）；如果增加出原來的三分之一（三分益）長度，弦長便成了原始的三分之四，頻率則成了原來的四分之三（音高降低）。
然而我們再仔細看看「三分損」和「三分益」這兩種方式，如果以「八度循環」的觀點，指的竟是同一件事！因為「三分損」之後的弦長是原來的「三分之二」；「三分益」之後的弦長是原來的「三分之四」。「三分之四」又是「三分之二」的兩倍，於是「三分損」即是「三分益」的「高八度音」。
《史記．律書》寫著︰「黃鍾長八寸七分一。大呂長七寸五分三分二。太蔟長七寸十分二。夾鍾長六寸七分三分一。姑洗長六寸十分四。仲呂長五寸九分三分二。蕤賓長五寸六分三分二。林鍾長五寸十分四。夷則長五寸四分三分二。南呂長四寸十分八。無射長四寸四分三分二。應鍾長四寸二分三分二。」
歷來，這段敘述被人認為在流傳抄寫上出了許多明顯的錯誤，後世各版本間的文字也有若干異同。宋代沈括在《夢溪筆談》曾提到，這裡頭的「七分X」的記載，其實是「十分X」之誤。所以黃鍾的「八寸七分一」應該是「八寸十分一」之誤，也就是黃鍾為「八十一分」的長度。如此一來，才能和司馬遷在前一段裡頭的「九九八十一以為宮」合得上。TG以上所節錄的，是「金陵局本」的《史記》，裡頭已經修正了一些錯誤（如太簇的「七寸七分二」）與其它的衍字。
接下來，我們就從黃鍾長度的「81」出發，假設它就是一切音律源起的弦長，反覆地利用「三分損益法」，算出其後各律的長度。TG 先使用的「三分損」法，也就是原來長度乘上三分之二，一直縮減下去；若長度已經小於原來的八度（即長度小於原來的 81 之半，即 40.5），則改用「三分益」法，將原始長度乘上三分之四；這是為了讓所有弦長皆落在一個八度音程之內（即長度必定介於 40.5 與 81）。照此一路相生而下，除不盡的分數以四位小數表示，便成了︰
黃鍾︰81；
林鍾︰81 × 2/3 ＝ 54；
太簇︰54 × 4/3 ＝ 72；
南呂︰72 × 2/3 ＝ 48；
姑洗︰48 × 4/3 ＝ 64；
應鍾︰64 × 2/3 ＝ 42.6667；
蕤賓︰42.6667 × 4/3 ＝ 56.8889；
大呂︰56.8889 × 4/3 ＝ 75.8519；
夷則︰75.8519 × 2/3 ＝ 50.5679；
夾鍾︰50.5679 × 4/3 ＝ 67.4239；
無射︰67.4239 × 2/3 ＝ 44.9492；
仲呂︰44.9492 × 4/3 ＝ 59.9323；
清黃鍾（黃鍾的高八度音）︰59.9323 × 2/3 ＝ 39.9549。
以下我們整理成表，就可以看出用三分損益法得出的計算值，與《史記》上的記載與勘誤、偏差百分比。
古音十二律 | 史記文字 | 三分損益 | 史記數字 | 偏差（%） |
黃鍾 | 八寸七分一 | 81 | 81（更正後） | - |
林鍾 | 五寸十分四 | 54 | 54 | 0 |
太簇 | 七寸十分二 | 72 | 72 | 0 |
南呂 | 四寸十分八 | 48 | 48 | 0 |
姑洗 | 六寸十分四 | 64 | 64 | 0 |
應鍾 | 四寸二分三分二 | 42.6667 | 42.6667 | 0 |
蕤賓 | 五寸六分三分二 | 56.8889 | 56.6667 | 22 |
大呂 | 七寸五分三分二 | 75.8519 | 75.6667 | 19 |
夷則 | 五寸三分二 | 50.5679 | 50.6667 | 10 |
夾鍾 | 六寸七分三分一 | 67.4239 | 67.3333 | 9 |
無射 | 四寸四分三分二 | 44.9492 | 44.6667 | 28 |
仲呂 | 五寸九分三分二 | 59.9323 | 59.6667 | 27 |
我們可以很明顯地看出，如果將第一個黃鍾更正為「81」之後，最後的結果與三分損益法的差異不大。最主要產生的偏差值，全都是因為最小刻度限制下的精確值問題。司馬遷所用的最小單位是「三分之一（也就是 0.333...分）」，所以介於這當中的長度，就不得不取一個最接近的值來湊合。即便如此，其偏差值最多也不會超過百分之卅。
我們還注意到最後一個「清黃鍾」，它就是原始「黃鍾」的高八度音，理論上應該是原來一半的弦長（＝ 40.5），但以「三分損益」不斷地累積下來，最後的弦長變成了 39.9549，與 40.5 的偏差值約為 1.3%。由此看來，在沒有更精密的儀器、沒有更迫切的需求下，「三分損益法」的確是一項可以實際用來「定音」的好方法。
接下來，我們再來討論西方的「十二平均律」。前文已提過，在兩個八度音程之間，可以有不同的方式來安插各種音高。如果我們要分成十二段，那麼上述的「三分損益法」（五度相生法）是當中的一種方便法則。但我們也可以將這十二段，讓相鄰的兩律都用相等的倍率來切割。也就是說，每兩相鄰音律之間的倍數為「2的12次根號」，也就是 1.059463 倍。由於這是個無理數，實際應用上的取法，可能就有許多工程上的技巧必須考量進去。目前標準鋼琴所使用的，就是這種「十二平均律」的定位法。
我們將前面用三分損益法與十二平均律定出來的音高弦長，列出表來做一比較，並為古音十二律安排上西方的音值（參考【附注】）。
古音十二律 | 西方音值 | 三分損益 | 十二平均律 | 偏差（%） |
黃鍾 | C | 81 | 81 | - |
林鍾 | G | 54 | 54.0610 | 0.11 |
太簇 | D | 72 | 72.1628 | 0.23 |
南呂 | A | 48 | 48.1629 | 0.34 |
姑洗 | E | 64 | 64.2898 | 0.45 |
應鍾 | B | 42.6667 | 42.9083 | 0.56 |
蕤賓 | F# | 56.8889 | 57.2757 | 0.68 |
大呂 | C# | 75.8519 | 76.4538 | 0.79 |
夷則 | G# | 50.5679 | 51.0268 | 0.90 |
夾鍾 | D# | 67.4239 | 68.1126 | 1.01 |
無射 | A# | 44.9492 | 45.4597 | 1.12 |
仲呂 | F | 59.9323 | 60.6814 | 1.23 |
清黃鍾 | C' | 39.9549 | 40.5 | 1.34 |
從上表我們發現「三分損益法」，與理想的「十二平均律」如此地接近，最大不過只有1.4% 的偏差值！可見得無論是先秦的「三分損益法」，或畢氏學派的「五度相生法」，都不約而同地在遵循數學性質上的完美。當然，論者也可以說，使用了第二泛音（高八度）之後，接下來當然要用到第三泛音來定音了，這或許是人類文明進展程序、與美學欣賞上的必然性吧。
談到樂理中的定律，還有一種稱為「純律」的定律法，與前述兩種有些微的不同。無論是「三分損益」或「十二平均」，都是在兩個八度音程之間，按著同一套規則，從前一律算出後一律。而「純律」則是為了要求幾個「和弦」的協調性，除了使用前述的第三汎音之外（原波長乘上 2/3），還引入了第五汎音（原波長乘上 4/5）的法則。最終的目的，就是要讓 C-E-G、F-A-C、G-B-D 三組音值的頻率，全都是 4 : 5 : 6 的比值，這就是所謂的「大三和弦」。
如果將純律與十二平均律的誤差做一比較，我們發現它們在主音的部分，彼此的誤差都很小。這也是為何在大多數的樂器演奏，一個和弦聽來都差不多的原因。
音值 | 十二平均 | 純律 | 偏差（%） |
C | 81 | 81 | - |
D | 72.1628 | 72 | -0.226 |
E | 64.2897 | 64.8 | 0.794 |
F | 60.6814 | 60.6 | -0.134 |
G | 54.0610 | 54 | -0.113 |
A | 48.1629 | 48.6 | 0.908 |
B | 42.9083 | 43.2 | 0.680 |
C' | 40.5 | 40.5 | 0 |
對於沒有優秀天資、也未受過專精訓練的 TG 而言，對這三種定律方式所定出來的音，我可能是不太容易聽出其中的差異的。
總而言之，如果不去瑣碎地追究《史記．律書》裡頭，各種名詞與干支、方位、陰陽之間錯綜複雜的關係，我們將發現人類對於音樂準確方面的追求，古今的差異實在是十分細微的。
【附註】
TG 在本文中的音高，一直都只停留在「相對」的音程差，並且都以「黃鍾長 81」為「C」來做數字計算，而沒有「絕對音高（如中央 A ＝ 440 Hz.）」的討論。主要還是由於先秦古音的絕對音高，過了兩千年的時間，考古上不可能出現可以當作證據的資料。高中時代，TG 聽一位歷史老師提過，曾候乙墓出土的「編鍾」可以敲出 440 Hz. 的頻率，我寧可只持保留的態度。
（發表於2006.7.18.）